Quelle est la différence entre des matrices semblables et équivalentes ?

Deux matrices A et B sont dites équivalentes s'il existe P et Q dans GLn(R) telles que A = PBQ-1. Elles sont dites semblables s'il existe P dans GLn(R) telles que A = PBP-1. Deux matrices semblables sont donc automatiquement équivalentes (il suffit de prendre Q = P).

L'interprétation est que deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes. C'est-à-dire que si A et B sont semblables, alors A est la matrice d'un endomorphisme u dans une base b, et B est la matrice du même u dans une autre base b'.

Deux matrices équivalentes, quant à elles, représentent le même endomorphisme dans deux couples de bases différents. C'est-à-dire que si A et B sont équivalentes, alors A est la matrice d'un endomorphisme u avec comme base de départ b et base d'arrivée b', et B est la matrice du même u avec comme base de départ b'' et base d'arrivée b'''.

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